Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности используемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне довольствовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней:

1) множество целых положительных чисел – натуральное множество N;

2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль;

Свойства ноля:

• нуль есть целое число.
• нуль не является натуральным числом.
• нуль ни отрицательное, ни положительное число

3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби;

4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие как p , е и т.д.

5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение мнимое число.

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида
z=x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i² = -1, х и у вещественные числа

Само число z=x+i y называется комплексным, а i – мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным, ни отрицательным.

“Мнимые числа поразительный полет духа божьего…” писал Лейбниц в 1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения .

1) Находим дискриминант .

2) Находим корни уравнения

Это уравнение имеет комплексные корни, где i² = -1.

Итак, число z=x+iy называется комплексным числом. x=Re(z) называется вещественной частной числа, y=Im(z) – называется мнимой частью числа, х и у – вещественные числа.

Например, 1) z=2+3i, Re(z)=2 – вещественная часть числа, Im(z)=3 мнимая часть числа.

2) z=-15+i, Re(z)=-15 – вещественная часть числа, Im(z)=1 – мнимая часть числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z=0 <=> Re(z)=х=0, Im(z)=у=0.

(<=> – знак эквивалентности, или можно заменить слова тогда и только тогда, необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im(z)=у=0, то z=х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, z=5+i·0=5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть z1=х1+iy1, z2=х2+iy2, z1=z2 если х1=х2 и y1=y2.

4. Множество комплексных чисел – неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства > или <.

Например, z =10+15i, z=2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.

Определение. Числа z1=x+iy и z2=x-iy называются комплексно сопряженными.

Например, z1=-2+3i, z2=-2-3i

z1=1+i, z2=1-i

Действия над комплексными числами.