Главная arrow Информатика arrow Двоичные числа
Как начинался компьютер
Компьютерная революция
Двоичный код
Разработки военных лет
Интегральные микросхемы
Микрокомпьютер
Персоны
Сеть
Язык компьютера
Развитие ПО
Гибкие системы
Средства разработки
Информатика
Вычислительная наука
Операционные системы
Искусственный интеллект
Предыстория
Поиск
Знания и рассуждения
Логика
Робототехника
 

 
Двоичные числа Печать

Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

В этой системе счисления используются цифры: 0, 1.

Пример:

Десятичная система счисления:

таким образом любое трехзначное число в десятичной системе можно представить:

 ,

где a, b, c цифры от 0 до 9 (горизонтальная линия над буквами показывает, что это именно цифры a, b, c, а не произведение чисел a, b, c).

Аналогично для любого трехзначного (трехразрядного) числа в двоичной системе счисления можно записать:

где a, b, c цифры 0 и 1.

Переведем число 12, записанное в десятичной системе счисления, в число, записанное в двоичной системе счисления.

 – 4-х разрядное двоичное число.

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Правила перевода из десятичной в двоичную систему.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему отдельно переводят дробную и целую части.

Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнять последовательное деление числа на 2 до тех пор, пока результат не станет меньше 2. Последний результат и остатки от деления, взятые в обратном порядке дают двоичное число.

Например:

164

2

 

 

 

 

 

 

164

82

2

 

 

 

 

 

0

82

41

2

 

 

 

 

 

0

40

20

2

 

 

 

 

 

1

20

10

2

 

 

 

 

 

0

10

5

2

 

 

 

 

 

0

4

2

2

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате  .

Для перевода правильной дроби из 10-й системы счисления в 2-ю систему счисления нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 2, представленное в старой 10-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 2-ой системе счисления.

Правила перевода из двоичной в десятичную систему.

Для перевода необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.

Например,

Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления

Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.

При этом используются следующие таблицы:

Сложение

Вычитание

Умножение

0+0=0

0-0=0

0*0=0

1+0=1

1-0=1

1*0=0

0+1=1

1-1=0

0*1=0

1+1=10

10-1=1

1*1=1

Рассмотрим таблицу более подробнее.

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 (перенос в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел еще проще:

0 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1.

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры – выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

В то время как система счисления с основанием 10 требует десяти цифр (включая нуль), для двоичной арифметики необходимо всего два символа – 0 и 1.

Десятичная система

Двоичная система

Десятичная система

Двоичная система

0

0

9

1001

1

1

10

1010

2

10

11

1011

3

11

12

1100

4

100

13

1101

5

101

14

1110

6

110

15

1111

7

111

16

10000

8

1000

 

 

В двоичной системе число 6789 записывается в виде 1101010000101, т.е. как

 – 13-ти разрядное двоичное число.

Двоичной системой счисления пользовался в начале 17 в. Т.Харриот. Позднее Г.Лейбниц обратил на двоичную систему внимание миссионеров, отправлявшихся для проповеди христианства в Китай в надежде убедить китайского императора в том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля). Однако вплоть до 20 в. двоичную систему рассматривали как своего рода математический курьез, и время от времени раздавались предложения перейти от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатеричной, но отнюдь не двоичной системе.

Однако именно в двоичной системе арифметические операции особенно просты. В двоичной системе не существует “таблицы сложения”, которую нужно бы было запоминать, так как “перенос в старший разряд” начинается с 1 + 1 = 10. При сложении больших чисел необходимо лишь складывать по столбцам или разрядам, как в десятичной системе, памятуя лишь о том, что как только сумма в столбце достигает числа 2, двойка переносится в следующий столбец (влево) в виде единицы старшего разряда. Вычитание производится так же, как в десятичной системе, не задумываясь о том, что теперь в случае необходимости нужно “занимать” из столбца слева 2, а не 10.

В двоичной таблице умножения единственный результат, отличный от нуля, соответствует 1´1 = 1. Каких-нибудь других “табличных” произведений, требующих запоминания, не существует, так как любое целое число больше единицы в двоичной системе по крайней мере “двузначно”. Умножение “столбиком” выполняется без труда, так как необходимость в “переносе в старший разряд” отпадает, за исключением сложения частичных произведений при получении окончательного ответа. Однако за эту легкость приходится “платить” большим числом знаков при умножении даже небольших чисел.

Деление “углом” в двоичной системе выполняется быстро, при этом нет необходимости в пробных делителях. По существу, деление становится своего рода непрерывным вычитанием, которое отличается необычайной “прозрачностью”.

В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний – либо “выключено” (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо “включено” (цепь замкнута, двоичная цифра 1). Числа, записанные в двоичной системе, требуют большего числа знаков, чем их аналоги в десятичной системе, но при проектировании компьютеров, предназначенных для работы с числами, не превышающими 10 миллионов, оказалось, что легче оперировать с 24-разрядными двоичными числами (т.е. 24 реле или переключателя типа “вкл.” – “выкл.”), чем с семизначными десятичными числами (реле или переключателями, которые могут находиться в 10 состояниях). И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел.