Главная arrow Информатика arrow История математики
Как начинался компьютер
Компьютерная революция
Двоичный код
Разработки военных лет
Интегральные микросхемы
Микрокомпьютер
Персоны
Сеть
Язык компьютера
Развитие ПО
Гибкие системы
Средства разработки
Информатика
Вычислительная наука
Операционные системы
Искусственный интеллект
Предыстория
Поиск
Знания и рассуждения
Логика
Робототехника
 

 
История математики Печать

Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности используемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне довольствовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней:

1) множество целых положительных чисел – натуральное множество N;

2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль;

Свойства ноля:

    • нуль есть целое число.
    • нуль не является натуральным числом.
    • нуль ни отрицательное, ни положительное число

3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби;

4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие как p , е и т.д.

5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение мнимое число.

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида
z=x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i2 = -1, х и у вещественные числа

Само число z=x+i y называется комплексным, а i – мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным, ни отрицательным.

“Мнимые числа поразительный полет духа божьего…” писал Лейбниц в 1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения .

1) Находим дискриминант .

2) Находим корни уравнения

Это уравнение имеет комплексные корни, где i2 = -1.

Итак, число z=x+iy называется комплексным числом. x=Re(z) называется вещественной частной числа, y=Im(z) – называется мнимой частью числа, х и у – вещественные числа.

Например, 1) z=2+3i, Re(z)=2 – вещественная часть числа, Im(z)=3 мнимая часть числа.

2) z=-15+i, Re(z)=-15 – вещественная часть числа, Im(z)=1 – мнимая часть числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z=0 <=> Re(z)=х=0, Im(z)=у=0.

(<=> – знак эквивалентности, или можно заменить слова тогда и только тогда, необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im(z)=у=0, то z=х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, z=5+i·0=5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть z1=х1+iy1, z2=х2+iy2, z1=z2 если х1=х2 и y1=y2.

4. Множество комплексных чисел – неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства > или <.

Например, z =10+15i, z=2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.

Определение. Числа z1=x+iy и z2=x-iy называются комплексно сопряженными.

Например, z1=-2+3i, z2=-2-3i

z1=1+i, z2=1-i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга, то мы получим новое комплексное число.