Главная arrow Логика arrow Символы и интерпретации
Как начинался компьютер
Компьютерная революция
Двоичный код
Разработки военных лет
Интегральные микросхемы
Микрокомпьютер
Персоны
Сеть
Язык компьютера
Развитие ПО
Гибкие системы
Средства разработки
Информатика
Вычислительная наука
Операционные системы
Искусственный интеллект
Предыстория
Поиск
Знания и рассуждения
Логика
Робототехника
 

 
Символы и интерпретации Печать

Вернемся к синтаксису языка. Нетерпеливый читатель может найти полное описание формальной грамматики логики первого порядка в листинге.

Синтаксис логики первого порядка с оператором равенства, заданный в форме Бэкуса—Наура. В этом синтаксисе предусмотрены строгие правила применения круглых скобок; примечания, касающиеся круглых скобок и предшествования операторов, приведенные на, равным образом относятся и к логике первого порядка

Sentence —> AtomicSentence

                | ( Sentence Connective Sentence )

                | Quantifier Variable, ... Sentence

                | —(Sentence

AtomicSentence —> Predicate {Term, ...) | Term = Term

        Term —> Function (Term, ...)

                   | Constant

                   | Variable

Connective —> => | a | v | <=>

  Quantifier —> V | 3

    Constant —> A | X\ | John | ...

    Variable —> a | x \ s | ...

   Predicate —> Before \ HasColor \ Raining | ...

    Function —> Mother | LeftLeg | ...

Основными синтаксическими элементами логики первого порядка являются символы, которые обозначают объекты, отношения и функции. Поэтому сами символы подразделяются на три типа: константные символы, которые обозначают объекты; предикатные символы, которые обозначают отношения, и функциональные символы, которые обозначают функции. Примем соглашение, что имена этих символов будут начинаться с прописных букв. Например, могут использоваться константные символы Richard и John; предикатные символы Brother, OnHead, Person, King и Crown и функциональный символ LeftLeg. Как и применительно к пропозициональным символам, выбор имен этих символов полностью предоставляется пользователю. Каждый предикатный и функциональный символ характеризуется арностью, которая определяет количество формальных параметров.

Семантика должна связывать высказывания с моделями, для того чтобы можно было определить истинность. Чтобы иметь возможность решить такую задачу, требуется интерпретация, которая определяет, на какие именно объекты, отношения и функции ссылаются те или иные константные, предикатные и функциональные символы. Одна из возможных интерпретаций для рассматриваемого примера (которую мы будем называть намеченной интерпретацией) состоит в следующем:

  • Символ Richard обозначает Ричарда Львиное Сердце, а символ John — злого короля Джона.
  • Символ Brother обозначает отношение родства между братьями, т.е. множество кортежей объектов; символ OnHead обозначает отношение "быть на голове", которое установлено между короной и королем Джоном; символы Person, King и Crown относятся к множествам объектов, представляющих собой людей, королей и короны.
  • Символ LeftLeg относится к функции "быть левой ногой", т.е. к отображению.

Может быть также много других возможных интерпретаций, связывающих эти символы с данной конкретной моделью. Например, одна интерпретация отображает символ Richard на корону, а символ John — на левую ногу короля Джона. В этой модели имеется пять объектов, поэтому существует 25 возможных интерпретаций только для константных символов Richard и John.

Обратите внимание на то, что не все объекты имеют имя, например, в данной намеченной интерпретации не предусмотрены имена для короны или для ног. Возможно также, чтобы один объект имел несколько имен; примером такой интерпретации была бы интерпретация, в которой и символ Richard, и символ John относились бы к короне.

Если читатель находит, что такая возможность приводит к путанице, напомним, что в пропозициональной логике вполне допустимо иметь модель, в которой высказывания Cloudy (пасмурно) и Sunny (солнечно) одновременно являются истинными; задача исключения из рассмотрения моделей, несовместимых с нашими знаниями, возлагается на базу знаний.

Истинность любого высказывания определяется с помощью некоторой модели и некоторой интерпретации символов этого высказывания. Поэтому логическое следствие, допустимость и другие свойства высказываний определяются в терминах всех возможных моделей и всех возможных интерпретаций. Важно отметить, что количество элементов проблемной области в каждой модели может быть неограниченным, например, элементами проблемной области могут быть целые числа или действительные числа.

Поэтому не ограничено количество возможных моделей, как и количество интерпретаций. Проверка логического следствия путем перебора всех возможных моделей, которая была осуществимой в пропозициональной логике, в логике первого порядка больше не может применяться.

Даже если количество рассматриваемых объектов ограничено, количество их комбинаций может быть очень большим. Например, при использовании символов, рассматриваемых в данном примере, существует приблизительно 1025 комбинаций для проблемной области с пятью объектами.