Логика математическая Печать

Вернуться к оглавлению

Логика математическая это наука, изучающая формы рассуждений и доказательств математическими методами.
The logic of mathematical

В алгебре действия производятся над символами-буквами, может быть, существует и алгебра языка алгебра, с помощью которой можно вычислять ответ на вопрос так же, как вычисляют ответ на задачу?

Древнегреческий мыслитель Аристотель, живший в IV веке до н. э., создал логику - науку правильно рассуждать. Он рассмотрел, какие законы, приемы, формы присущи человеческому мышлению. Отсюда и название науки - формальная логика. Она оперирует такими логическими категориями, как понятие, суждение, умозаключение. Формальная логика пытается найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, какова структура мышления; она изучает логические операции и правила мышления.

В средние века приверженцы чисто формального направления в логике пришли к мысли, что можно найти истины с помощью простого комбинирования общих понятий. Для этой цели даже строили «мыслительные машины». Средневековые философы мечтали с их помощью разрешить все проблемы науки, все загадки жизни, все тайны земли и неба.

«Мыслительная» машина средневекового философа, богослова и алхимика Раймунда Луллия была устроена очень просто. На большом неподвижном круге по окружности были написаны девять вопросов: «Сколько?», «Который из двух?», «Когда?», «Где?», «Какого качества?» и другие, подобные этим.

Внутри круга один над другим были расположены еще пять кругов уменьшающегося диаметра. Они могли вращаться независимо друг от друга. Каждый круг делился на девять секторов - «камер». В них были сделаны надписи. В одном круге - названия девяти главных грехов и добродетелей, в другом - девяти главных физических свойств. Вращая те или иные круги, Луллия передвигал их на одно, два, три деления. При этом неподвижным был то первый, то второй, то первый и третий или пятый и второй. И всякий раз против вопросов главного неподвижного круга оказывались различные сочетания слов.

Ясно, что подобная машина не могла решать никаких логических задач. Ее «откровение» больше всего походили на бессмыслицу. Иначе и быть не могло. Луллия хотя и называл свое детище «великим искусством», но не имел понятия о законах математической логики, на которых основана работа современных логических машин.

Основоположником математической логики считают немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница. Это он в XVII веке попытался построить первые логические исчисления, арифметические и буквенно-алгебраические. Он сблизил логику с исчислением, усовершенствовал и уточнил логическую символику.

На фундаменте, заложенном Лейбницем, другой математик Джордж Буль, воздвиг здание новой области науки - математической логики. Он ввел для логических построений особую алгебру. В отличие от обычной, в ней символами обозначают не числа, а высказывания.

В логике надо абстрагироваться от содержания высказываний. Оно для математической логики не имеет значения, так же как для алгебры безразлично, что стоит за обозначением x - количество рыб, автомобилей или звезд. Для математической логики не важен конкретный смысл суждения. Для нее важно только одно: истинно данное высказывание или ложно.

Оказывается, каждый из нас, можно сказать, только тем и занимается, что обращается к формальной логике. Мы бессознательно - особенно отстаивая свою точку зрения - приноравливаемся к законам алгебры языка, так как логика, по мнению специалистов, как бы «образует основную ткань нашего мышлению). На ней - конечно, в самом широком смысле - базируются общие свойства высказываний, основы рассуждений, Представьте себе, что вас спросили: «Почему днем бывает светло?» А вы ответили: «Потому что днем свет делает день светлым». Вы нарушили правила логики, логику рассуждений: вы ничего не объяснили.

Мольер увековечил в бессмертной комедии «Мнимый больной» такой бездоказательный метод мышления, когда тавтология - повторение одного и того же - лишает речь какой бы то ни было новой информации. Например, в пьесе бакалавру на экзаменах ставят вопрос: «Почему опиум вызывает сон?» Бакалавр отвечает: «Потому что в нем содержится снотворная сила, которая имеет способность усыплять чувства».

Как видим, здесь слова в контексте не дают ясного, точного смысла. Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом логического доказательства: «Все люди смертны. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен».

Чтобы придать точное значение словам, ученые придумали специальные однозначные символы. Такая символика позволяет выявить логическую структуру мысли или рассуждения.

Точные значения слов позволили вычислять связи между символами слов, отношения между ними. То, что раньше трудно было выразить словами обычного языка, теперь с большой легкостью можно представить символами математической логики.

Вот простой пример. H2O - формула воды, ее символическое обозначение. Оно указывает на присутствие двух атомов водорода и одного атома кислорода на каждую молекулу соединения. В этой записи содержательный смысл относится к химии, числа - к математике, а обозначения - к символической логике. Теперь подойдем к рассмотрению ее законов.

Мы знаем три различные формы, с помощью которых осуществляется мышление: понятие, суждение и умозаключение. «Вписанный угол, опирающийся на диаметр» - это понятие; если мы говорим не о всех углах, то понятие единичное. А «все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые» - уже суждение, поскольку в нем об объекте суждения высказывается, каковы его свойства.

Процесс выведения из суждений, посылок, нового суждения называется умозаключением. Простейшие умозаключения называют силлогизмами в таком случае из двух суждений выводится третье. Одно из исходных суждений обычно является более общим - это большая посылка. Другое, как правило, менее общее - малая посылка. Заключительное суждение - вывод.

Возьмем суждение «все вычислительные машины облегчают труд человека» в качестве большой посылки. А суждение «персональный компьютер»- в качестве малой. Тогда вывод из этих суждений будет: «Персональный компьютер облегчает труд человека».

Суждения могут быть истинными или ложными. Если суждения истинны, то при соблюдении определенных законов образования силлогизма мы всегда получим правильный вывод - истинное заключение о суждении, как наш вывод о персональном компьютере.

Но если при соблюдении правил образования силлогизма мы получаем неверный, ложный вывод, то это значит, что по крайней мере одна из посылок неверна.

Оказывается, так же как и для математической задачи, решение любой логической задачи имеет свою «технологию». Она составляется из простейших операций, похожих на сложение и умножение. Их выполняют по специальным правилам. С их помощью каждый может решить логическую задачу. То же может сделать и автоматическая машина.

Инженеры сперва предположили, что на базе математической логики можно построить электрические схемы, а затем их и построили.

Представьте себе электрическую схему, например цепь из источника тока, звонка и двух выключателей. В такой цепи, чтобы зазвонил звонок, то есть чтобы прошел сигнал, надо включить И первый, И второй выключатели. Подобная схема называется схемой совпадения, или логической схемой И. В ней только при совпадении во времени обоих сигналов на выходе появляется импульс.

В другой схеме выключатели соединим параллельно. Теперь надо включить ИЛИ первый, ИЛИ второй выключатели, и тогда звонок зазвонит. Такая схема называется схемой разделения. Она осуществляет логическую операцию ИЛИ.

Схему отрицания, или логическую схему НЕ, можно назвать цепью наоборот. В ней один вход и один выход. Но импульс тока на выходе появляется лишь тогда, когда на входе нет сигнала.

Конечно, бессмысленно ставить в вычислительных машинах электрические цепи с выключателями. Здесь работают электронные устройства. Они воспроизводят те же логические операции, но с огромной скоростью.

Логические рассуждения благодаря высокой степени абстрактности и многообразию систем логических отношений позволяют создавать своеобразную логическую картину мира. Вот почему математическая логика наших дней стала одной из важнейших теоретических основ информатики и кибернетики. Она - их действенное орудие, могучее средство решения многих задач в области искусственного интеллекта и робототехники.

- Начинает давать уклончивые ответы...