Главная arrow Знания и рассуждения arrow Представление знаний
Как начинался компьютер
Компьютерная революция
Двоичный код
Разработки военных лет
Интегральные микросхемы
Микрокомпьютер
Персоны
Сеть
Язык компьютера
Развитие ПО
Гибкие системы
Средства разработки
Информатика
Вычислительная наука
Операционные системы
Искусственный интеллект
Предыстория
Поиск
Знания и рассуждения
Логика
Робототехника
 

 
Представление знаний Печать

Понятие формальной системы

Появление формальных систем было обусловлено осознанием того факта, что совершенно различные системы, будь то технические, социальные, экономические или биологические, обладают глубоким сходством. В формальной системе (ФС), оперирующей теми или иными символами, эти символы воспринимаются просто как элементы, с которыми обращаются согласно определенным правилам, зависящим только от формы выражений, образованных из символов. Понятие истинности появляется только в связи с возможными приложениями (интерпретациями) этой системы. Формальные системы - это аксиоматические системы, т.е. системы с наличием определенного числа исходных заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами. Формальная система считается заданной, если выполнены следующие условия.

  • Задано некоторое множество, состоящее из конечного или бесконечного числа элементов, которые носят название термов. Имеется другое конечное множество, элементы которого есть связки или операции.
  • Любую линейную упорядоченную совокупность термов и операций называют формулой. Из множества формул выделяют подмножеств правильно построенных формул (ППФ). Для ППФ задают правила их конструирования, т.е. определяется эффективная процедура, позволяющая по данному выражению выяснять, является ли оно ППФ в данной ФС.
  • Выделено некоторое множество ППФ, называемых аксиомами ФС. При этом должна иметься эффективная процедура, позволяющая для произвольной ППФ, решить, является ли она аксиомой.
  • Имеется конечное множество R1, R2, …, Rk отношений между ППФ называемых правилами вывода. Понятие "вывода" также должно быть эффективным, т.е. должна существовать эффективная процедура, позволяющая для произвольной конечной последовательности ППФ решать, можно ли каждый член этой последовательности вывести из одной или нескольких предшествующих ППФ посредством некоторых фиксированных правил вывода. Выводом ФС называется любая последовательность ППФ A1, A2, …, An такая, что для любого i (i = ) ППФ Ai есть либо аксиома ФС, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих ППФ по одному из правил вывода.

ППФ В называется теоремой ФС, если существует вывод ФС, в котором последней ППФ является В. Любая ФС задается четверкой <T, H, A, R> где T - множество термов и операций; H - множество правил конструирования ППФ; A - система аксиом; R - множество правил вывода. Можно расширить формальную систему введением дополнительных правил на множества H, A и R. Если на множество H действуют правила h, изменяющие синтаксис ФС, на множество A - правила , изменяющие систему аксиом, и если в ФС разрешается изменять набор правил вывода с помощью некоторых правил , то такое расширение ФС называется семиотической системой.

Для функционирования семиотической системы необходимо задать проблемно ориентированную формальную систему и правила ее изменения. Сама формальная система не является ни языком, ни системой знания, она не содержит никаких утверждений об объектах, а является просто исчислением - некоторого рода действиями по определенным правилам над последовательностями термов. Два класса формальных систем являются математической базой для построения систем ИИ: исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка.

Исчисление высказываний как формальная система

Сложное высказывание имеет истинностное значение, которое однозначно определяется истинностными значениями простых высказываний, из которых оно составлено.

Например: "Если студент ложится поздно спать и пьет кофе, то утром он встанет в плохом настроении или с головной болью". Это сложное высказывание состоит из следующих простых высказываний:

  • "Студент ложиться поздно спать"
  • "Студент пьет на ночь кофе"
  • "Утром студент встанет в плохом настроении"
  • "Утром студент встанет с головной болью"

Обозначив сложное высказывание через X, а простые соответственно через Y, Z, U, V, можно записать

X = если Y и Z, то U или V

Или X = (Y and Z) → (U or V)

Каждую логическую связку можно рассматривать как операцию, которая образует новое высказывание - сложное из более простых. Таким образом, всякое сложное высказывание можно записать в виде некоторой формулы, содержащей логические связки и символы, которые обозначают простые высказывания, называемые атомами. Чтобы узнать, истинно или ложно сложное высказывание, достаточно узнать истинные значение всех атомов, из которых оно составлено.

Пусть дана формула B и X1, X2, …, Xn - атомы, в ней встречающиеся. Тогда под интерпретацией формулы B будем понимать приписывание истинных значений атомам X1, X2, …, Xn. Формула B истинна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда B принимает значение "истина", иначе B ложна в этой интерпретации. Для формулы состоящей из n атомов существует 2n интерпретаций.

Формула исчисления высказываний, которая истинна во всех интерпретациях, называется тавтологией или общезначимой формулой. Примерами тавтологий являются X or not(X), X→(Y→X). Формула исчисления высказываний называется противоречием, если она ложна во всех интерпретациях. Например, X and not(X). Рассмотрим без доказательства несколько правил образования тавтологий из тавтологий (очевидно, что для получения противоречий нужно применить к тавтологии операцию отрицания).

Пусть B есть некоторая формула, а B* - формула, полученная из B подстановкой формулы C вместо атома X везде, где он встречается в B. Тогда, если B - тавтология, то и B* также тавтология. Это правило называется в ФС правилом подстановки. Если B и B → C - тавтологии, то C - также тавтология. Этот результат известен как правило дедуктивного вывода - modus ponens.

Теория дедуктивного вывода (раздел математической логики) занимается выводом утверждений из начального списка рассуждений, фактов, посылок, аксиом. Задавая интерпретации, в которых посылки истинны, получают и истинное заключение.